پایدار سازی سیستم های چندجمله ای غیرخطی در معرض نویز سیستم و اعوجاج کمی سازی

Transcript

1 پایدار سازی سیستم های چندجمله ای غیرخطی در معرض نیز سیستم اعجاج کمی سازی علی رضا فرهادی استادیار دانشکده مهندسی برق دانشگاه صنعتی شریف )تاریخ دریافت مقاله 4994/9/4 تاریخ پذیرش مقاله 99/2/41( چکیده: این مقاله به مسئله پایدارسازی سیستم های چندجمله ای غیر خطی در معرض نیز سیستم هنگامی انتقال از حسگر به کنترل کننده از طریق یک کانال مخابراتی دیجیتال بدن نیز صرت می گیرد می پردازد یک تکنیک پایدارسازی متشکل از یک اینکدر دیکدر کنترل کننده جهت پایدارسازی مجانبی باند محدد با احتمال یک ارائه می شد در صرت فقدان نیز سیستم نشان داده می شد این تکنیک پایدارسازی منجر به پایداری مجانبی می شد عملکرد رضایت بخش این تکنیک برای پایدارسازی مجانبی باند محدد با احتمال یک نیز پایداری مجانبی یک سیستم چندجمله ای غیر خطی بر ری کانال مخابراتی دیجیتال بدن نیز با استفاده از شبیه سازی کامپیتری نمایش داده می شد کلمات کلیدی: سیستم کنترل شب ای سیستم غیر خطی چندجمله ای کانال مخابراتی دیجیتال بدن نیز Stabilization of Nonlinear Polynomial Systems Subject to System Noise and Quantization Distortion Alireza Farhadi Assistant Professor, Department of Electrical Engineering, Sharif University of Technology, Abstract: This paper is concerned with the stability of nonlinear polynomial dynamic systems subject to system noise when transmission from sensor to controller is via the digital noiseless channel A stabilizing technique consisting of an encoder, decoder and a controller is presented for almost sure asymptotic bounded stability of nonlinear polynomial systems subject to system noise over the digital noiseless channel In the absence of system noise it is shown that the proposed stabilizing technique results in asymptotic stability The satisfactory performance of the proposed technique for almost sure asymptotic bounded stability and asymptotic stability of a polynomial dynamic system over the digital noiseless channel is illustrated using computer simulations Keywords: Networked control system, Polynomial nonlinear system, Digital noiseless channel مقدمه پیشینه انگیزش یک دسته مهم از سیستم های غیر خطی سیستم های غیر خطی چندجمله ای است زیرا اناع دیگر سیستم های غیر خطی با هر نع غیر خطی پیسته ایستا می تاند بسیله این دسته از سیستم های غیر خطی تصیف گردد[ 4 ] از طرف دیگر یکی از مسائل نظهر کنترل آن است چگنه می تان یک سیستم دینامیکی را بر ری یک کانال مخابراتی در معرض خطاهای مخابراتی)نظیر اعجاج کمی سازی( است پایدار نمد[ 49-2 ] مثال هایی از این سیستم ها نیاز به پایدارسازی /یا تخمین در معرض خطاهای مخابراتی دارند عبارتند از سیستم حفاری هشمند چاه نفت سیستم پایش میادین نفتی سامانه خدکار انتقال آب کشارزی از این ر این مقاله به پایدارسازی سیستم های چندجمله ای غیر خطی بر ری یک کانال مخابراتی در معرض خطای مخابراتی می پردازد 1

2 در این مقاله به مسئله پایدارسازی مجانبی باند محدد با احتمال یک دسته ای خاص از سیستم های چندجمله ای غیرخطی در معرض نیز سیستم بر ری یک کانال مخابراتی دیجیتال بدن نیز پرداخته می شد است به بلک دیاگرام ه یا بلک دیاگرام این مسئله در شکل 4 نشان داده شده مشابهی در بسیاری از مقاالت تحقیقاتی بررسی اثرات خطاهای مخابراتی در انتقال داده از حسگر به کنترل کننده می پردازند مرد تجه قرار گرفته است )نظیر [4] [7]( برخی نتایج اساسی در تخمین /یا پایدار سازی سیستم های دینامیکی بر ری کانال های مخابراتی در معرض خطاهای مخابراتی در مقاالت [49-2] یافت می شند در مرجع [41] محققان به مسئله تخمین یک سیستم کنترل نشده لیپشیتز غیرخطی بدن نیز سیستم بر ری کانال مخابراتی دیجیتال بدن نیز با میانگین مجذر خطای تخمین صفر می پردازند [49] به مسئله تخمین یک سیستم کنترل نشده لیپشیتسز تزیع شده در معرض نیز های سیستم اندازه گیری است می پردازد [7] به مسئله پایدارسازی سیستم های غیرخطی نیز فاقد بر ری کانال مخابراتی دیجیتال بدن نیز می پردازد به عاله در مرجع [49] به مسئله پایدارسازی سیستم های دینامیکی غیرخطی دارای عدم قطعیت بر ری یک شب مخابراتی بدن نیز در معرض تاخیر مخابراتی محددیت های ایجاد شده ناشی از اشتراک شب با سایر کاربران است پرداخته شده است اما این مرجع اثرات اعجاج کمی سازی را مرد تجه قرار نمی دهد 2-4 -نآری های مقاله از آنجائی تاکنن مسئله پایدارسازی سیستم های چندجمله ای غیرخطی در معرض نیز سیستم اعجاج کمی سازی در اندازه گیری های انجام شده از سیستم مرد بررسی قرار نگرفته است در این مقاله به این مسئله پرداخته می شد)شکل 4 را ببینید( در بلک دیاگرام شکل 4 اندازه گیری های انجام شده از سیستم مقادیر حقیقی دارند از این ر برای انتقال آنها از طریق یک کانال مخابراتی دیجیتال باید کمی شند به صرت یک بسته داده باینری با طل مشخص)مثال بیت( ارائه شند این امر منجر به اعجاج در اندازه گیری های سیستم هنگامی آنها دباره در کنترل کننده بازسازی می شند می گردد برخالف این عدم قطعیت ها )یعنی نیز سیستم اعجاج ناشی ازکمی سازی( یک تکنیک پایدارسازی شامل یک اینکدر دیکدر شکل 4- یک سیستم چند جمله ای غیر خطی بر ری کانال مخابراتی دیجیتال بدن نیز کنترل می شد کنترل کننده است ارائه می شد منجر به پایدار سازی مجانبی باند محدد با احتمال یک برای سیستم های چندجمله ای غیرخطی در معرض نیز سیستم می شد در صرت عدم جد نیز سیستم نشان داده می شد این تکنیک پایدارسازی منجر به پایداری مجانبی می شد عملکرد رضایت بخش این تکنیک برای پایدارسازی مجانبی باند محدد با احتمال یک پایداری مجانبی با استفاده از شبیه سازی کامپیتری نمایش داده می شد 9-4 -ساختار مقاله ساختار این مقاله بصرت زیر است: در بخش 2 فرمله بندی مسئله ارائه می شد بخش 9 به نتایج پایدارسازی اختصاص می یابد در این بخش اینکدر دیکدر کنترل کننده ای برای پایدارسازی مجانبی باند محدد با احتمال یک ارائه می شد نتایج شبیه سازی در بخش 4 آرده شده است مقاله در بخش 5 نتیجه گیری می شد -2 فرمله بندی مسئله در سراسر مقاله از نمادگذاری های زیر استفاده می شد: قدرمطلق را نشان می دهد نرم اقلیدسی را نشان می دهد معنای "بر مبنای تعریف معادل است با" می باشد معرف به امین عنصر بردار R معکس ماتریس مربعی مجمعه اعداد حقیقی است می باشد ترانهاده ماتریس 2

3 دسته ای این مقاله به مسئله پایدارسازی مجانبی باند محدد با احتمال یک از سیستم های چندجمله ای غیرخطی بر ری کانال مخابراتی دیجیتال بدن نیز می پردازد در شده است سیستم دینامیکی: بلک دیاگرام شکل 4 نشان داده اجزای سازنده این بلک دیاگرام در زیر تشریح شده است سیستم دینامیکی یک سیستم چندجمله ای غیرخطی زمان گسسته است بصرت زیر تصیف می شد ) 4( R در اینجا شده از سیستم در زمان حالت سیستم است است حالت الیه است برای کنترل کننده مقدارش بردار کنترل است () R باشد عناصر اندازه گیری انجام ξ متغیر تصادفی بده معرف مقدار نامعلم است یک تابع پیسته غیرخطی با عناصر است هر کدام از این عناصر چند جمله ای از درجه در سراسر مقاله فرض می شد حالت الیه جد دارد به گنه ای می با Pr( )2( بنابراین برای هر بازه مشخص گنه ای با احتمال یک داریم: )9( جد دارد به کانال مخابراتی: کانال مخابراتی بین سیستم کنترل کننده کانال مخابراتی دیجیتال بدن نیز با نرخ انتقال بسته داده باینری بطل بیت است این کانال یک بیت را در هر بار استفاده کانال انتقال می دهد از آنجائی اندازه گیری های انجام شده از سیستم دارای مقادیر حقیقی هستند جهت انتقال آنها از طریق کانال مخابراتی دیجیتال بدن نیز این اندازه گیری ها باید بصرت بسته های داده باینری با طل بیت کمی سازی شند این امر بسیله یک اینکدر در بلک دیاگرام شکل 4 انجام می شد از طرف دیگر دیکدر اندازه گیری های انجام گرفته کمی سازی شده را در گیرنده بازتلید می نماید تصیف اینکدر دیکدر در زیر آرده شده است اینکدر: اینکدر یک عملگر علی است بسیله داده می شد خرجی سیستم را به ردی کانال کند یک رشته باینری با طل بیت است دیکدر: دیکدر نیز یک عملگر علی است بسیله نشان داده می شد خرجی کانال را به در دیکدر( نگاشت می کند کنترل کننده: کنترل کننده به فرم زیر است: )5( نشان نگاشت می )تخمین متغیر حالت - هدف این مقاله طراحی یک اینکدر دیکدر به گنه ای است پایدار سازی مجانبی باند محدد با احتمال یک بصرت زیر تعریف می شد را حاصل نماید همچنین )4( در سیستم داریم: یک چند جمله از درجه می باشد یعنی ( = R دینامیکی) 4 ( R با عناصر بردار نیز تعریف 4- )پایدار سازی مجانبی باند محدد با احتمال یک(: بلک دیاگرام شکل 4 را در نظر بگیرید بسیله سیستم دینامیکی غیر خطی )4( بر ری کانال مخابراتی دیجیتال بدن نیز در باال شرح داده شد تصیف شده است این سیستم دارای پایداری مجانبی باند محدد با احتمال یک است اگر فقط اگر یک اینکدر دیکدر کنترل کننده یک مجمعه باند محدد بسته جد داشته باشد شرط زیر را تامین نماید: R Pr )9( سیستم است در سراسر مقاله فرض می شد ها متغیر تصادفی با تزیع یکناخت در محدده هستند 3

4 نکته 4: برای = نع پایداری مجانبی است حال برای کنترل کننده )5( از اینکدر دیکدر زیر استفاده می کنیم -9 نتایج پایدارسازی در این بخش برای کنترل کننده )5( اینکدر دیکدری ارائه می شد اقدام به پایدار سازی مجانبی باند محدد با احتمال یک سیستم دینامیکی )4( در بلک دیاگرام شکل 4 می نماید اجازه دهید تحت تاثیر بردار کنترل با عناصر بصرت زیر باز نیسی می شد معرف خطای تخمین باشد - سیستم دینامیکی) 4 ( تکنیک اینکدینگ هر دیکدینگ: بازه در زمان بازه زیر به برای با اندازه یکسان غیرهمپشان تقسیم بندی می شد مرکز هر زیر بازه به عنان شاخص آن بازه انتخاب می شد برای هر به محض مشاهده است به = شاخص زیربازه ای بیت اینکد می شد سپس یک بسته با طل شامل بیت شامل اطالعاتی مربط به اندازه گیری الیه از طریق کانال منتقل می شد هنگامی دیکدر این بیت را دریافت کرد برای هر شاخص زیر بازه ای در آن قرار گرفته است را تشخیص می دهد مقدار شاخص به عنان - + ) 7( از این ر برای هر فرمل زیر هر برای را انتخاب می شد) تخمین می باشد( داریم: بنابراین باند باالی خطای تخمین بصرت ارائه می شد ) - + در زمان = یک باند باالبرای از تعریف سیستم غیرخطی برای هر بصرت زیر محاسبه می = ) 1( حال با جایگزینی در رابطه باال داریم شد )9( بطری ( ) 42( ) 41( = سپس مشابه با زمان قبلی در این بازه برای هر بازه به زیر بازه با اندازه یکسان غیرهمپشان تقسیم بندی می شد مرکز هر زیر بازه نیز به عنان شاخص آن بازه انتخاب می شد بدین ترتیب برای هر شاخص زیر بازه ای شامل به محض مشاهده است به بیت کد شده سپس بیت شامل اطالعات مربط به اندازه گیری ( )44( از طریق کانال مخابراتی منتقل می شد هنگامی این بیت دریافت شد برای هر i دیکدر شاخص زیربازه ای شامل 4

5 )47( است را تشخیص می دهد مقدار این شاخص بصرت تخمین انتخاب می شد بنابراین حد باالی خطا ی تخمین در این حالت عبارت است از با دنبال کردن دسترالعمل مشابه تالی های در دیکدر بازسازی می گردند حد باالی خطای تخمین جهت بازسازی عبارت است از این بدان معنا است با بکارگیری تبدیل باال سیستم) 45 ( به سیستم )47( تبدیل می شد بردار صفر را به عنان نقطه تعادلش دارد اکنن برای چک کردن پایداری مجانبی سیستم چند جمله ای )47( یافتن شرایطی بر نرخ از بسته نرم افزاری QEPCAD برای پایدارسازی مجانبی می تان تسط Collin, Hong سایر همکاران [41-47] تسعه یافته است استفاده کرد QEPCAD یک بسته نرم افزار محاسباتی سمبلیک است ردی آن عباراتی شامل معادالت نامعادالت چندجمله ای است با بکارگیری این بسته نرم افزاری برای خاناده ای از تابع لیاپانف می تان مجمعه از چند جمله های مقید را یافت پایدار سازی مجانبی سیستم )47( را بر اساس تئری لیاپانف کند می تضمین برای نمنه برای سیستم چندجمله ای )47( ما خاناده تابع درجه دم لیاپانف V(Q,H)= ( )49( را انتخاب می نماییم در آن R یک ماتریس حال با در نظر گرفتن بردار به صرت زیر دلخاه مثبت معین است اکنن برای بدست آردن مجمعه ای از چند جمله ای های مقید پایداری مجانبی سیستم )47( را تضمین می نماید از بسته نرم افزار QEPCAD با دستر ردی زیر استفاده می گردد:, )44( )41( با در نظر گرفتن فرمل باال برای ها داریم: خرجی این دستر یک مجمعه از چندجمله ای های مقید شامل ماتریسQ بردار است برای داده شده تضمین می کند )45( در اینجا یک بردار چندجمله ای از است شرط حاصل شده است هر برای تجه کنید شرط پایداری مجانبی سیستم )47( را تضمین می کند,, )49( حال فرض نمایید تبدیل دینامیکی باال را به سیستم زیر تبدیل می نماید جد دارد سیستم با تجه به این مضع قضیه زیر را برای پایدارسازی سیستم دینامیک )4( در بلک دیاگرام شکل 4 با بکارگیری کنترل کننده )4( تکنیک اینکدینگ دیکدینگ ذکر شده در باال داریم 5

6 قضیه 4- سیستم کنترلی شکل 4 را بسیله سیستم چندجمله ای غیر خطی )4( بر ری کانال مخابراتی دیجیتال بدن نیز پیشتر تصیف بردار R شد را در نظر بگیرید فرض کنید در اینجا جد دارد با استفاده از تبدیل سیستم )45( را به سیستم )47( با بردار صفر به عنان نقطه تعادلش تبدیل می کند همچنین فرض نمایید اعداد صحیح غیر منفی هستند سیستم )47( را حل بردار صفر پایدار مجانبی می نماید حال با بکارگیری تکنیک های اینکدیک دیکدینگ پیشنهادی کنترل کننده یک مجمعه باند محدد - بسته R جد دارد با احتمال یک داریم: ) 49( اثبات: هر نرخ سیستم چندجمله ای) 47 ( را حل مبدا به صرت مجانبی پایدارسازی می نماید انتخاب نمایید اکنن با بکارگیری تکنیک های اینکدینگ دیکدینگ باال کنترل کننده عبارت مقابل آنجائی هر عنصر بردار برای هر عنصر بردار یا بطر معادل - )یعنی یعنی داریم داریم از اینر از حال از با احتمال یک یک حد باال است نتیجه گرفته می شد شکل 4 تسط سیستم چندجمله ای غیرخطی زیر تصیف می شد اعمال می نماییم )24( دراینجا تصادفی بازه مقابل دارای است )یعنی مشخص می باشند تزیع حالت الیه نامعلم متغیر یکناخت در تجه نمایید به منظر پایدارسازی این سیستم ردی کنترل بصرت - - ردی کنترل سیستم تصیف زیر است: انتخاب می گردد با اعمال این تحت کنترل در بلک دیاگرام شکل 4 دارای = )+, = = )22( Pr در جایی بنابراین برای سیستم )24( بر ری کانال مخابراتی دیجیتال بدن نیز با )21( نکته 2: برای هر سیستم دینامیک فاقد نیزسیستم )یعنی هنگامی ) داریم از این ر تحت فرضیات قضیه باال با بکارگیری کنترل کننده تکنیک اینکدینگ دیکدینگ پیشنهادی داریم: بیت نرخ با بکارگیری کنترل کننده تکنیک اینکدینگ دیکدینگ پیشنهادی حد باالی زیر را برای + + داریم: = + +, = +, ) 29( نتایج شبیه سازی اکنن اجازه دهید جاب معادله زیر باشد -4 +(1- ) + =0 در این بخش به منظر نمایش کارایی رش پیشنهادی دیکدر اینکدر کنترل کننده پیشنهاد شده در بخش قبل را به بلک دیاگرام 6

7 )29(, ( ) 24( سپس - نقطه تعادل سیستم )29( است تبدیل سیستم )29( را به سیستم زیر تبدیل می کند, )25( تجه کنید نقطه تعادل سیستم دینامیک )25( صفر است اکنن برای ساده سازی تحلیل پایدارسازی سیستم )25( فرض کنید یک نرخ جد دارد به گنه ای رابطه زیر برقرار است: با احتمال یک داریم اکنن فرض کنید پارامترها تصیف شده است اگر )91( است برای سیستم) 24 ( بسیله این بنابراین بیت انتخاب شد داریم برقرار است از این ر همچنان در باال بحث شد برای سیستم) 24 ( بسیله پارامترهای باال تصیف می شد با احتمال یک داریم در آن [4,4-] = است )29( تحت این فرضیات سیستم )25( به سیستم زیر ساده می شد: )27( اکنن با تسعه سیستم دینامیکی باال داریم )21( بنابراین تحت فرض )با فرض این مقدار الیه سیستم به گنه ای است در ناحیه جذب نقطه تعادل پایدار سیستم) 24 ( قرار دارد( با احتمال یک داریم داریم در نتیجه با احتمال یک این بدان معنا است تحت فرضیات باال برای سیستم )24( بر ری کانال مخابراتی دیجیتال بدن نیز با نرخ بیت شرایط مقابل را ارضا می نماید: شکل 2- مسیر حالت بدن ردی کنترل شکل 2 مسیر حالت سیستم )24( را نشان می دهد بسیله پارامترهای باال تصیف شده است 0= می باشد همچنان از شکل باال اضح است بدن ردی کنترل سیستم نا پایدار است 7

8 جد نیز سیستم اعجاج کمی سازی قرار دارد حال برای = داریم: شکل 9- مسیر حالت سیستم کنترل شده شکل 9 مسیر حالت سیستم )24( را تحت تاثیر تکنیک پیشنهاد شده پایدار شده است را نشان می دهد شکل 5 شکل 5 را بر حسب زمان برای این حالت نشان می دهد از این شکل اضح است با افزایش زمان داریم: از شکل 9 هم اضح است همانگنه انتظار می رد برای این حالت داریم شکل 4- سیگنال کنترل شکل 4 سیگنال کنترل را برای این حالت نشان می دهد هنگامی اینکدر دیکدر کنترل کننده پیشنهادی با نرخ مرد استفاده قرار می گیرد از شکل 9 اضح است مسیر حالت سیستم همچنان انتظار می رد در بازه [4,4-] علی رغم نکته 9: در مرجع [41] محققان به مسئله تخمین یک سیستم کنترل نشده لیپشیتز غیرخطی بدن نیز سیستم بر ری کانال مخابراتی دیجیتال بدن نیز با میانگین مجذر خطای تخمین صفر می پردازند در [49] به مسئله تخمین یک سیستم کنترل نشده لیپشیتسز تزیع شده در معرض نیز های سیستم اندازه گیری است پرداخته می شد[ 7 ] به مسئله پایدارسازی سیستم های غیرخطی فاقد نیز بر ری کانال مخابراتی دیجیتال بدن نیز می پردازد این در حالی است این مقاله به مسئله پایدارسازی سیستمهای غیر خطی نیزی می پردازد به عاله در مرجع [49] به مسئله پایدارسازی سیستم های دینامیکی غیرخطی دارای عدم قطعیت بر ری یک شب مخابراتی بدن نیز در معرض تاخیر مخابراتی محددیت های ایجاد شده ناشی از اشتراک شب با سایر کاربران است پرداخته است اما این مرجع اثرات اعجاج کمی سازی را مرد تجه قرار نمی دهد حال 8

9 [1] D Nesic, Dead-beat control for polynomial systems, PhD thesis, the Australian National University, 1996 [2] N Elia, When Bode meets Shannon: controloriented feedback communication schemes, IEEE Trans Automat Contr, 49(9), pp , 2004 [3] N Elia and J N Eisenbeis, Limitations of linear control over packet drop networks, IEEE Trans Automat Contr, 56(4), pp , 2011 آن در این مقاله نقل انتقال اطالعات در معرض اعجاج کمی سازی قرار دارد پایدارسازی با احتمال یک سیستمهای دینامیکی بر ری کانالهای مخابراتی در مقاالت محددی برای مثال در [49] برای سیستهای دینامیکی خطی بررسی شده است برای سیستمهای دینامیکی خطی فاقد نیز تکنیک ارائه شده در این مقاله به تکنیک ارائه شده در [49] تقلیل می یابد [4] N C Martins, A Dahleh and N Elia, Feedback stabilization of uncertain systems in the presence of a direct link, IEEE Trans Automat Contr, 51(3), pp , 2006 [5] P Minero, M Franceschetti, S Dey and N Nair, Data rate theorem for stabilization over time-varying feedback channels, IEEE Trans Automat Contr, 54(2), pp , 2009 [6] P Minero, L Coviello and M Franceschetti, Stabilization over Markov feedback channels: the general case, IEEE Trans Automat Contr, 58(2), pp , 2013 [7] G N Nair, R J Evans, I M Y Mareels and W Moran W, Topological feedback entropy and nonlinear stabilization, IEEE Trans Automat Contr, 49(9), pp , 2004 [8] G N Nair and R J Evans, Stabilizability of stochastic linear systems with finite feedback data rates, SIAM J Control Optimization, 43(3), pp , 2004 [9] C Canudas de Wit, F Gomez-Estern and F Rodrigues Rubio, Delta-modulation coding redesign for feedback-controlled systems, IEEE Transactions on Industrial Electronics, 56(7), pp , 2009 [10] G N Nair and R J Evans, State estimation via a capacity limited communication channel, IEEE Conf Decision Contr, pp , 1997 [11] C D Charalambous and A Farhadi, LQG optimality and separation principle for general discrete time partially observed stochastic systems over finite capacity communication channels, Automatica, 44(12), pp , 2008 نتیجه گیری شکل 9- مسیر حالت سیستم کنترل شده این مقاله به مسئله پایدارسازی دسته خاصی از سیستم های چندجمله ای غیر خطی در معرض نیز سیستم در آنها انتقال داده های اندازه گیری شده از سیستم تسط حسگر به کنترل کننده از طریق یک کانال مخابراتی دیجیتال بدن نیز صرت می گیرد پرداخت یک تکنیک پایدارسازی متشکل از یک اینکدر دیکدر کنترل کننده جهت پایدارسازی مجانبی باند محدد با احتمال یک برای این مسئله ارائه شد در صرت فقدان نیز سیستم نشان داده شد این تکنیک پایدارسازی منجر به پایداری مجانبی می شد عملکرد رضایت بخش این تکنیک برای پایدارسازی مجانبی باند محدد با احتمال یک نیز پایداری مجانبی یک سیستم چندجمله ای غیر خطی بر ری کانال مخابراتی دیجیتال بدن نیز با استفاده از شبیه سازی کامپیتری نمایش داده شد برای تحقیقات آینده سعی می شد این تکنیک برای -5 کالس سیعتری از سیستم های چند جمله ای تسعه یابد مراجع 9

10 [12] C D Charalambous, A Farhadi and S Z Denic, Control of continuous-time linear Gaussian systems over additive Gaussian wireless fading channels: a separation principle, IEEE Transactions on Automatic Control, 53(4), pp , 2008 [13] A Farhadi and N U Ahmed, Tracking nonlinear noisy dynamic systems over noisy communication channels, IEEE Transactions on Communications, 59(4), pp , 2011 [14] A Farhadi, Feedback channel in linear noiseless dynamic systems controlled over the packet erasure network, International Journal of Control, 88(8), pp , 2015 [15] A Farhadi, J Domun and C Canudas de Wit, A supervisory control policy over an acoustic communication network, International Journal of Control, 88(5), pp , 2015 [16] W P M H Heemels, A R Teel, N Van de Wouw and D Nesic, Networked control systems with communication constraints: tradeoffs between transmission intervals, delays and performance, IEEE Transactions on Automatic Control, 55(8), pp , 2010 [17] G E Collins, Quantifier elimination for real closed fields by cylindrical algebraic decomposition, Lect Notes Comp Sci, 33, pp , 1975 [18] G E Collins and H Hong, Partial cylindrical algebraic decomposition for quantifier elimination, J Symbolic Comp, pp , 1998 [19] S Tatikonda and S Mitter, Control over noisy channels, IEEE Trans Automat Contr, 49(7), pp ,